Cho hình chóp \[S.ABCD\] đáy là hình vuông cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a.\) Gọi \[M,\,\,K\] tương ứng là trọng tâm tam giác \[SAB\,,\,\,SCD

Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \[AB,{\rm{ }}J\] là trung điểm của \[CD.\]

Mà \[M,\,\,K\] lần lượt là trọng tâm của tam giác \[SAB,\,\,SCD\] nên \(\frac{{SM}}{{SI}} = \frac{{SK}}{{SJ}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra đồng dạng với theo tỉ số \(\frac{2}{3}\). Do đó \({V_{SMNK}} = {V_{K.SMN}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}{V_{J.SIN}} = \frac{4}{9}{V_{J.SIN}}\).

Mặt khác \({V_{S.INJ}} = {V_{J.SIN}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\) nên \({V_{SMNK}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{{{a^3}}}{{12}} = \frac{{{a^3}}}{{27}}\).

Vậy \(m = 1\,,\,\,n = 27 \Rightarrow m + n = 28\).

Đáp án: 28.