Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a;AD = 4a;SA = a căn 15 ,SA vuông góc ABCD

25/50

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 4a;SA = a\sqrt {15} $,$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ , $M$ là trung điểm của $AD$ , $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BC = 4BN$ . Khoảng cách gữa $MN$ và $SD$ là

\[\frac{{2\sqrt {33} a}}{{11}}\].

\[\frac{{2\sqrt {690} a}}{{23}}\].

\[\frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\].

\[\frac{{\sqrt {690} a}}{{23}}\].

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 4a;SA = a\sqrt {15} $,$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ , $M$ là trung điểm của $AD$ , $N$ thuộc cạnh $BC$ sao (ảnh 1)$

Gọi $P$ là trung điểm $SA.$ Ta có $SD//MP \Rightarrow SD//\left( {MNP} \right)$

Do đó $d\left( {SD,MN} \right) = d\left( {SD,\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right)$ (vì $M$ là trung điểm $AD).$

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ kẻ $AK \bot MN$ và trong mặt phẳng $\left( {AKP} \right)$ kẻ $AH \bot PK$

Suy ra $d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right) = AH$

Ta có $AP = \frac{{SA}}{2} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}$

Gọi $E = MN \cap AB \Rightarrow AE = 2a.$

$\Delta AME$ vuông tại $A \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}}$

$\Delta AKP$ vuông tại \[\]

Vậy $d\left( {SD,MN} \right) = \frac{{\sqrt {690} a}}{{23}}.$

Đáp án D