Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc ABCD, đáy ABCD là hình vuông và SA = 2a, AB = a

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(90^\circ \).

Do đó, \(\cos \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \cos 90^\circ = 0\).

Dễ thấy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA}\). Ta có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {BC,\,\left( {SAB} \right)} \right) = 90^\circ \). Vậy \(\sin \left( {BC,\,\left( {SAB} \right)} \right) = \sin 90^\circ = 1\).

Từ \(M\) kẻ \(MN\) sao cho \(MN{\rm{//}}\,BC\left( {N \in AB} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SM,\left( {SAB} \right)} \right) = \widehat {MSN}\).

Dễ có \(\Delta MSN\)vuông tại \(N\)có \(MN = a\), \(SN = \sqrt {S{A^2} + A{N^2}} = \sqrt {4{a^2} + \frac{1}{{16}}{a^2}} = \frac{{\sqrt {65} }}{4}a\).

Vậy \(\tan \widehat {MSN} = \frac{{MN}}{{SN}} = \frac{4}{{\sqrt {65} }}\).

Đáp án: 1 – A; 2 – C; 3 – B; 4 – E.