Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 4a; ABCD là hình thang với đáy lớn AD, biết

38/50

Cho hình chóp S.ABCD có đường cao \(SA = 4a\); ABCD là hình thang với đáy lớn AD, biết \(AD = 4a,\,\,AB = BC = CD = 2a\). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

\(64\pi {a^3}\sqrt 2 \)

\(\frac{{64\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

\(\frac{{32\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

\(32\pi {a^3}\sqrt 2 \)

Giải thích

Đáp án B

Phương pháp:

Xác định trục của hai mặt phẳng bất kì của chóp (Thường là mặt đáy và một mặt bên). Giao điểm của chúng chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Cách giải:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AD và SD

Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 4a; ABCD là hình thang với đáy lớn AD, biết (ảnh 1)

Dễ dàng chứng minh: ABCD là hình thang cân \(\left( {AD = 4a,\,\,AB = BC = CD = 2a} \right)\) và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.

IO là đường trung bình của tam giác SAC \( \Rightarrow IO//SA\)

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác SAD vuông tại A

\( \Rightarrow IA = IS = \frac{{SD}}{2} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{2} = 2a\sqrt 2 \,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và bán kính mặt cầu \(R = 2a\sqrt 2 \)

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {2a\sqrt 2 } \right)^3} = \frac{\begin{array}{l}6\\64\sqrt 2 \pi {a^3}\end{array}}{3}\)