Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc

20/50

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng (SAD),(SBC) vuông góc với nhau. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB),(SBC) bằng 60°, góc giữa hai mặt phẳng (SAB),(SAD) bằng 45°. Biết rằng khoảng cách từ H tới (SAB) bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD là

V=4a333

V=2a363

V=a363

V=2a333

Giải thích

Ta có hai mặt phẳng (SAD),(SBC) vuông góc với nhau suy ra MSN^=90° với M,N là các hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AD và BC. Khi đó H nằm trên đoạn MN.

Lại có .32=sin60°=dN;SABdN;SB=adN;SB22=sin45°=dM;SABdM;SA=adM;SA

Do vậy dN;SB=2a3,dM;SA=a2, . Bên cạnh đó ta lại 1dN;SB2=34a2=1SN2+1NB21dM;SA2=12a2=1SM2+1MA2

Do NB=MA=HK suy ra 54a2=1SM2+1SN2+2HK2=1SH2+1HK2+1HK2=1a2+1HK2⇒HK=2a.

Vậy 1SN2=34a2−14a2⇔SN=a2;1SM2=12a2−14a2⇔SM=2a⇒SH=2a3;MN=a6

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD=13.SABCD.SH=13.a62.2a3=4a333.