Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu

20/50

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng (SAD), (SBC) vuông góc với nhau. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC) bằng 60°, góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAD) bằng 45°. Biết rằng khoảng cách từ H tới (SAB) bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD là

V=4a333

V=2a363

V=a363

V=2a333

Giải thích

Đáp án A

Ta có hai mặt phẳng (SAD), (SBC) vuông góc với nhau suy ra MSN^=90° với M,N là các hình chiếu vuông góc của Strên các cạnh AD và BC. Khi đó H nằm trên đoạn MN.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu (ảnh 1)

Lại có 32=sin60°=dN;SABdN;SB=adN;SB22=sin45°=dM;SABdM;SA=adM;SA.

Do vậy dN;SB=2a3,dM;SA=a2. Bên cạnh đó ta lại 1dN;SB2=34a2=1SN2+1NB21dM;SA2=12a2=1SM2+1MA2

Do NB=MA=HK suy ra

54a2=1SM2+1SN2+2HK2=1SH2+1HK2+1HK2=1a2+1HK2⇒HK=2a

Vậy 1SN2=34a2−14a2⇔SN=a2; 1SM2=12a2−14a2⇔SM=2a⇒SH=2a3; MN=a6.

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD=13.SABCD.SH=13.a62.2a3=4a333.