Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a. Tam giác

Gọi H là trung điểm của AB

Þ SH ⊥ AB (do ΔSAB cân tại S)

Ta có: (SAB) ⊥ (ABCD)

(SAB) ∩ (ABCD) = AB

SH ⊥ AB; SH ⊂ (SAB)

Þ SH ⊥ (ABCD)

Hay H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD)

Þ CH là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD)

Do đó góc giữa SC và mặt đáy là \[\widehat {SCH} = \alpha \].

Ta có:

\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{4{a^3}}}{3} = \frac{1}{3}SH.4{a^2} \Leftrightarrow SH = a\]

Xét tam giác BHCvuông tại B, theo định lý Py-ta-go, ta có:

\[HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \]

Xét tam giác SHC vuông tại H có:

\[\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{a}{{a\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\]

Vậy \[\tan \widehat {SCH} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\].