Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD)

23/150

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \(a\,,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SA = x.\) Xác định \(x\) để hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) hợp với nhau góc bằng \(60^\circ \).

\(x = 2a.\)

\(x = a.\)

\(x = \frac{{3a}}{2}.\)

\(x = \frac{a}{2}.\)

Giải thích

Media VietJack

Ta có \(SB = SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} .\)

\[\Delta SDC = \Delta SBC;BM \bot SC\,\,;\,\,DM \bot SC\,;\,\,BM = DM\,;\,\,M \in SC.\]

\[SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} \,,\,\,MD = \frac{{SD \cdot CD}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}\]

Mặt khác \[\left( {\left( {SBC} \right)\,;\,\,\left( {SDC} \right)} \right) = \widehat {\left( {BM\,;\,\,BD} \right)} = 60^\circ \]

• TH1: \(\widehat {BMD} = 60^\circ \Rightarrow MD = BD \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} = a\sqrt 2 \) (vô nghiệm).

• TH2: \(\widehat {BMD} = 120^\circ \Rightarrow BD = MD\sqrt 3 \Leftrightarrow a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 3 \sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow x = a.\) Chọn B.