Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a (tham khảo hình vẽ).
15/22
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA\)vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2a\) (tham khảo hình vẽ).
a) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \[{V_{S.ABCD}} = \frac{{2{a^3}}}{3}.\]
b) \[BD \bot \left( {SAC} \right).\]
c) Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha = 2.\)
d) Số đo góc nhị diện \(\left[ {A,SD,C} \right]\) bằng \(90^\circ \).
a) Đúng. Ta có\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot 2a = \frac{{2{a^3}}}{3}\).
b) Đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).
c) Đúng. Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SBA}\).
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), có: \(\tan \alpha = \tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{2a}}{a} = 2\).
d) Đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).
Lại có hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) cắt nhau tạo thành 4 góc nhị diện, trong đó có góc nhị diện \(\left[ {A,SD,C} \right]\).Vậy góc nhị diện \(\left[ {A,SD,C} \right]\) là góc nhị diện vuông nên có số đo bằng \(90^\circ \).