Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a căn 3, SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn 2 . Tính góc giữa SC

38/50

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].

\[{90^0}\]

\[{45^0}\]

\[{30^0}\]

\[{60^0}\]

Giải thích

Phương pháp giải:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là \[a\sqrt 2 \].

Giải chi tiết:

$(TH): Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\]. (ảnh 1)$

Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[AC\] là hình chiếu vuông góc của \[SC\] lên \[\left( {ABCD} \right)\].

\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\].

Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \] nên \[AC = a\sqrt 3 .\sqrt 2 = a\sqrt 6 \].

Xét tam giác vuông \[SAC\] ta có: \[\tan \angle SCA = \frac{{SA}}{{SC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] \[ \Rightarrow \angle SCA = {30^0}\].

Vậy \[\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = {30^0}\].

Đáp án C