Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = 120 độ

43/51

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat {ABC} = 120^\circ \); ∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuôn góc với mặt đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

\(\frac{{a\sqrt {11} }}{6}\);

\(\frac{{a\sqrt {39} }}{6}\);

\(\frac{{a\sqrt {37} }}{6}\);

\(\frac{{a\sqrt {35} }}{6}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = 120 độ (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AB, khi đó SH⊥AB

Lại có (SAB)⊥(ABCD) suy ra SH⊥(ABCD)

Ta có: \(\widehat {ABC} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BCD} = 60^\circ \)

Suy ra, tam giác BAD; BCD là tam giác đều.

Do đó DA = DB = DC.

Khi đó, D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác SAB; ABD là tam giác đều nên DH⊥(SAB)

Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB cắt đường thẳng Dt (Dt//SH) tại I nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Ta có:\(DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = IG\); \(SG = \frac{2}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow R = \sqrt {I{G^2} + S{G^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).