Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD//BC,M là điểm di động trong hình thang ABCD. Qua M

32/50

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang có $AD//BC,M$ là điểm di động trong hình thang $ABCD.$ Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ và $SB$ lần lượt cắt các mặt $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ tại $N$ và $P.$ Cho $SA = a,SB = b.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = M{N^2}.MP.$

$\frac{{{a^2}b}}{8}$.

$\frac{{a{b^2}}}{8}$.

$\frac{{4{a^2}b}}{{27}}$.

$\frac{{4a{b^2}}}{{27}}$.

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang có $AD//BC,M$ là điểm di động trong hình thang $ABCD.$ Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ và $SB$ lần lượt cắt các mặt \(\left( (ảnh 1)$

Gọi giao điểm của BM với AD là J, giao điểm của AM với BC là I

Gọi độ dài MN là x, độ dài MP là y.

Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{IM}}{{IA}}\\\frac{{MP}}{{SB}} = \frac{{JM}}{{JB}} = \frac{{AM}}{{AI}}\end{array} \right. = >\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]

\[ = >P = (\frac{x}{{2a}}.\frac{x}{{2a}}.\frac{y}{b}).\frac{{4{a^2}}}{b} \le \frac{{{{(\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{{2a}} + \frac{y}{b})}^3}}}{{{3^3}}}\frac{{4{a^2}}}{b} = \frac{1}{{27}}.\frac{{4{a^2}}}{b} = \frac{{4{a^2}b}}{{27}}\](BĐT Cauchy)

Đáp án C