Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD // BC, AD = AB = 4, BC = 8, đều. Gọi Q là một điểm bất kỳ trên đoạn SB (Q không trùng với S và B). Qua Q dựng mặt phẳng (α) song song với SA và A

Xác định thiết diện \(MNPQ\):

Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(SA\) và \(AD\), mà \(SA,AD \subset \left( {SAD} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Tương tự, do \(AD{\rm{//}}BC\) nên \(\left( \alpha \right)\) cũng song song với \(BC\).

Giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp được xác định như sau:

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\): Qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\), cắt \(AB\) tại \(M \Rightarrow QM{\rm{//}}SA\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\): Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\), cắt \(CD\) tại \(N \Rightarrow MN{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC.\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\): Qua \(Q\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(P \Rightarrow QP{\rm{//}}BC{\rm{//}}AD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\): Nối \(P\) với \(N\), ta có \(PN{\rm{//}}SD\).

Tứ giác \(MNPQ\) có \(MN{\rm{//}}QP\) nên \(MNPQ\) là hình thang.

Tính độ dài các cạnh của hình thang \(MNPQ\):

Đặt tỉ số \(x = \frac{{SQ}}{{SB}}\) với \(x \in \left( {0;1} \right)\).

Đoạn \(QP\): Trong , có \(QP{\rm{//}}BC \Rightarrow \frac{{QP}}{{BC}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = x \Rightarrow QP = xBC = 8x\).

Đoạn \(QM\): Trong , có \(QM{\rm{//}}SA \Rightarrow \frac{{QM}}{{SA}} = \frac{{BQ}}{{BS}} = 1 - x \Rightarrow QM = \left( {1 - x} \right)SA = 4\left( {1 - x} \right)\) (do đều nên \(SA = AD = SD = 4\)).

Đoạn \(PN\): Trong , có \(PN{\rm{//}}SD \Rightarrow \frac{{PN}}{{SD}} = \frac{{PC}}{{SC}} = \frac{{BQ}}{{BS}} = 1 - x \Rightarrow PN = 4\left( {1 - x} \right)\).

Đoạn \(MN\): Trong hình thang \(ABCD\) với \(MN{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\) và \(M \in AB\) thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = x\), \(N \in CD\) thỏa mãn \(\frac{{CN}}{{CD}} = \frac{{CP}}{{CS}} = \frac{{BQ}}{{BS}} = 1 - x\). Từ đó suy ra \(MN = \left( {1 - x} \right)AD + xBC = 4\left( {1 - x} \right) + 8x = 4 + 4x\).

Tính diện tích hình thang \(MNPQ\):

Do \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right)\) nên góc giữa hai đường thẳng \(QM\) và \(MN\) trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng góc giữa \(SA\) và \(AD\) trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Vì là tam giác đều nên \(\widehat {SAD} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {QMN} = 60^\circ \).

Hình thang \(MNPQ\) là hình thang cân (do \(QM = PN = 4\left( {1 - x} \right)\)) có:

Chiều cao \(h = QM \cdot \sin 60^\circ = 4\left( {1 - x} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \left( {1 - x} \right)\).

Tổng hai đáy: \(MN + QP = \left( {4 + 4x} \right) + 8x = 4 + 12x\).

Diện tích tứ giác \(MNPQ\) là:

\(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {MN + QP} \right) \cdot h = \frac{1}{2}\left( {4 + 12x} \right) \cdot 2\sqrt 3 \left( {1 - x} \right) = 4\sqrt 3 \left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - x} \right)\)\( = 4\sqrt 3 \left( { - 3{x^2} + 2x + 1} \right)\).

Hàm số \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x + 1\) là hàm số bậc hai, đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{1}{3} \in \left( {0;1} \right)\), với \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\).

Do đó: \({S_{{\rm{max}}}} = 4\sqrt 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3} \approx 9,2376...\).

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả chính xác là \(9,24\).

Đáp số: 9,24.