Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc (ABCD). Biết AB = 3a, AD = a, SA = 2a a) Chứng minh CD vuông góc (SAD)

Hướng dẫn giải

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).

c) Hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(A\)

Hình chiếu của \(D\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(M\) (do \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) tại \(M\))

\( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(AD\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(AM\)

\( \Rightarrow \left( {AD,\left( {SAM} \right)} \right) = \left( {AD,AM} \right) = \widehat {MAD}\).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,AM\) là đường cao, ta có:\(AM = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a\).

Xét \(\Delta AMD\)vuông tại \(M\), ta có \(\cos \widehat {MAD} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat {MAD} \approx 18,43^\circ \).

d) \(O = AC \cap BD\)

\(CA \cap \left( {SBD} \right) = O\) \( \Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)

Vẽ \(AH \bot SM\) tại \(H\).