Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên các đoạn SA,SB,SC,SD lấy lần lượt các điểm E,F,G,H thỏa mãn

47/50

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trên các đoạn $SA,SB,SC,SD$ lấy lần lượt các điểm $E,F,G,H$ thỏa mãn $\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SC}} = \frac{1}{3},\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{{SH}}{{SD}} = \frac{2}{3}.$ Tỉ số thể tích khối \[EFGH\] với khối $S.ABCD$ bằng:

$\frac{2}{{27}}$

$\frac{1}{{18}}.$

$\frac{1}{9}.$

$\frac{2}{9}.$

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trên các đoạn $SA,SB,SC,SD$ lấy lần lượt các điểm $E,F,G,H$ thỏa mãn \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SC}} = \frac{1}{3},\frac{{SF}}{{ (ảnh 1)$

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD.$

Trong $\left( {SBD} \right)$ gọi $I = FH \cap SO \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}.$

Trong $\left( {SAC} \right)$ gọi $J = EG \cap SO \Rightarrow \frac{{SJ}}{{SO}} = \frac{1}{3}.$

$\frac{{{V_{SEJF}}}}{{{V_{SAON}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SJ}}{{SO}}.\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{2}{3} = \frac{2}{{27}}.$

$ \Rightarrow {V_{SEJF}} = \frac{2}{{27}}{V_{SAOB}} = \frac{2}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}$

$\frac{{{V_{SEIF}}}}{{{V_{SAOB}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SI}}{{SO}}.\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}.$

$ \Rightarrow {V_{SEIF}} = \frac{4}{{27}}{V_{SAOB}} = \frac{4}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{27}}{V_{S.ABCD}}.$

${V_{F.EIJ}} = {V_{S.EIJ}} - {V_{SEJF}} = \frac{1}{{27}}{V_{S.ABCD}} - \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}$

Chứng minh tương tự ta có:

${V_{F.IJG}} = {V_{H.IJG}} = {V_{H.IJE}} = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}.$

${V_{EFGH}} = {V_{F.EJI}} + {V_{F.IJG}} + {V_{H.IJG}} + {V_{H.IJE}} = \frac{4}{{54}}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{{27}}{V_{S.ABCD}}$

$ \Rightarrow \frac{{{V_{EFGH}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{2}{{27}}.$

Đáp án A