Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CB, CD và G là trọng tâm của SBD. Biết H là giao điểm của đường thẳng SA và mặt phẳng (GMN).

13/21

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (2 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CB,CD$ và $G$ là trọng tâm của $△ S B D$ . Biết $H$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$.

$S \in \left( {ABCD} \right)$.

ĐúngSai

Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là $SO$.

ĐúngSai

Giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ là trung điểm của $OC$.

ĐúngSai

Tỉ số $\frac{{SH}}{{SA}} = \frac{3}{7}$.

ĐúngSai

Giải thích

$Đây là phương trình lượng giác ở trường hợp đặc biệt: ${\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Chọn B. (ảnh 1)$

a) SAI: Vì $S$ là đỉnh của hình chóp nên $S$ không thuộc mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$.

b) ĐÚNG: Xét hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$, ta thấy đỉnh $S$ là điểm chung thứ nhất. Điểm $O = AC \cap BD$ nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng, là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến là $SO$.

c) ĐÚNG: Trong mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$, gọi $K = MN \cap AC$. Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD \Rightarrow MN{\rm{//}}BD$. Trong tam giác $BCD$, đường thẳng $MN$ song song với đáy $BD$ sẽ cắt đường trung tuyến $CO$ tại trung điểm của nó. Do đó, $K$ là trung điểm của $OC$. Vì $K \in MN$ và $K \in AC \subset \left( {SAC} \right)$ nên $K$ chính là giao điểm của $MN$ và $\left( {SAC} \right)$.

d) SAI: Tìm giao điểm $H = SA \cap \left( {GMN} \right)$: Chọn mặt phẳng chứa $SA$ là $\left( {SAC} \right)$. Ta thấy $K = MN \cap \left( {SAC} \right)$. Mặt khác, $G$ là trọng tâm nên $G \in SO \subset \left( {SAC} \right)$. Do đó, giao tuyến của $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {GMN} \right)$ là đường thẳng $GK$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $H = GK \cap SA \Rightarrow H = SA \cap \left( {GMN} \right)$.

Để tính tỉ số, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SAO$ với cát tuyến kéo dài $HGK$ (trong đó $A - O - C - K$ thẳng hàng):

Ta có $K$ là trung điểm $OC \Rightarrow CK = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}OA \Rightarrow AK = \frac{3}{2}OA$ và $OK = \frac{1}{2}OA \Rightarrow \frac{{KA}}{{KO}} = 3$.

Vì $G$ là trọng tâm nên $\frac{{GO}}{{GS}} = \frac{1}{2}$.

Theo định lý Menelaus: $\frac{{HS}}{{HA}} \cdot \frac{{KA}}{{KO}} \cdot \frac{{GO}}{{GS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{HS}}{{HA}} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{HS}}{{HA}} = \frac{2}{3}$.

Do $H$ nằm trong đoạn $SA$ nên $\frac{{SH}}{{SA}} = \frac{2}{5}$.