Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi có các cạnh đối không song song. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm SC. Giao điểm của DM và (SAC) là:

a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có:

\(S\) là điểm chung thứ nhất: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(O = AC \cap BD\).

Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).

Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(O\) là điểm chung thứ hai: \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy giao tuyến cần tìm là đường thẳng \(SO\), ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Tìm giao điểm của \(SD\) và \(\left( {AMB} \right)\):

Chọn mặt phẳng phụ chứa \(SD\) là \(\left( {SBD} \right)\). Ta đã biết \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(SO\).

Xét giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\):

\(B\) là điểm chung thứ nhất.

Vì \(K \in AM \subset \left( {AMB} \right)\) và \(K \in SO \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(K\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMB} \right)\) là đường thẳng \(BK\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(BK\) và \(SD\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in SD}\\{I \in BK \subset \left( {AMB} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow I = SD \cap \left( {AMB} \right)\).

c) Chứng minh \(AM,BI,SO\) đồng quy:

Theo kết quả dựng hình ở câu b:

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), ta có \(K = AM \cap SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), ta có \(I = BK \cap SD\), điều này có nghĩa là ba điểm \(B,K,I\) thẳng hàng, hay đường thẳng \(BI\) đi qua điểm \(K\).

Như vậy, cả ba đường thẳng \(AM\), \(SO\), và \(BI\) đều cắt nhau tại cùng một điểm \(K\).

Vậy ba đường thẳng \(AM,BI,SO\) đồng quy tại điểm \(K\).