Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy

39/50

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên \[\left( {SCD} \right)\] hợp với đáy một góc bằng \[60^\circ \], M là trung điểm của BC. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

\[a\sqrt 3 \]

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Giải thích

Đáp án C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy (ảnh 1)

Đặt \(AB = x\), do \(C{\rm{D}} \bot {\rm{S}}A,C{\rm{D}} \bot A{\rm{D}}\)

Suy ra \(\widehat {\left( {(SC{\rm{D}});(ABC{\rm{D}})} \right)} = \widehat {S{\rm{D}}A} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow SA = x\tan 60^\circ = x\sqrt 3 \)

Khi đó \({V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{x^3} \Rightarrow x = a\).

Lại có \(d\left( {M;(SC{\rm{D}})} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B;(SC{\rm{D}})} \right)\)

\( = \frac{1}{2}d\left( {A;(SC{\rm{D}})} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{1}{2}A{\rm{D}}\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).