Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

a) Sai. Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Giả sử \(AC \bot \left( {SBD} \right)\)thì \(AC \bot SO\left( {{\rm{do}}\,\,SO \subset \left( {SBD} \right)} \right)\)\( \Rightarrow \Delta SAC\)ít nhất là tam giác cân tại S.

Mà theo đề bài, ta chứng minh được \(\Delta SAC\)không cân nên suy ra mệnh đề sai.

b) Đúng. Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB,BC \bot SA}\\{AB \cap SA = \left\{ A \right\}}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\left( {AH \subset \left( {SAB} \right)} \right)\).

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AH \bot SB}\\{AH \bot BC,SB \cap BC = \left\{ B \right\}}\end{array}} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).

c) Sai. Kẻ \(AI \bot SO\) tại I.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC,BD \bot SA}\\{AC \cap SA = \left\{ A \right\}}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \)\(BD \bot AI\,\,\left( {AI \subset \left( {SAC} \right)} \right)\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AI \bot BD,AI \bot SO}\\{BD \cap SO = \left\{ O \right\}}\end{array}} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AI\).

Vì \(ABCD\)là hình vuông \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(\Delta SAO\) vuông tại A có \(AI \bot SO\)nên ta có \[\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}} \Rightarrow AI = \frac{{2a}}{3}\].

d) Đúng. Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot 2a = \frac{2}{3}{a^3}\).