Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a√2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD

Chọn B

Gọi \(I = AC \cap BD\).

Hình vuông \(ABCD\) có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \) suy ra hình vuông đó có cạnh bằng \(a\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SI \bot BD\\AI \bot BD\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;\,AI} \right)} = \widehat {SIA}\].

Ta có \(\tan \alpha  = \tan \widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} \Leftrightarrow SA = a\).

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Ta có \(A\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {a;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {a;\,a;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\,a} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {SA}  = \left( {0;\,0;\, - a} \right)\); \(\overrightarrow {SC}  = \left( {a;\,a;\, - a} \right)\); \(\overrightarrow {SB}  = \left( {a;\,0;\, - a} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = \left( {1;\,0;\,1} \right)\).

Suy ra cosSAC;SBC^=n→1.n→2n→1.n→2=12.2=12⇒SAC;SBC^=60°