Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) sao cho vectơ AH = 1/4 vectơ AC và SH = căn bậc hai (6)/4. Khoảng cách từ A đến mặt

20/40

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $\overrightarrow {AH} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} $ và $SH = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$. Khoảng cách từ $A$đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ bằng

$\frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

$\frac{1}{2}$.

$\frac{{\sqrt {10} }}{{15}}$.

$\frac{{\sqrt {10} }}{{20}}$.

Giải thích

$Đường thẳng $OM$ đi qua \(O\left( {0;0 (ảnh 1)$

Theo đề có $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CD$.

Kẻ $HJ \bot CD$. Do đó $CD \bot \left( {SHJ} \right)$.

Kẻ $HK \bot SJ$ mà $CD \bot \left( {SHJ} \right) \Rightarrow CD \bot HK$. Do đó $HK \bot \left( {SCD} \right)$.

Do đó $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK$.

Có $\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{{HJ}}{{AD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow HJ = \frac{3}{4}AD = \frac{3}{4}$.

Xét $\Delta SHJ$ vuông tại $H$, có $HK \bot SJ$ nên $\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{{16}}{6} + \frac{{16}}{9} = \frac{{40}}{9} \Rightarrow HK = \frac{{3\sqrt {10} }}{{20}}$.

Có $\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{4}{3}$$ \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3}d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{3\sqrt {10} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$. Chọn A.