Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Tính sin của góc t

Lời giải

Đáp án đúng là: B.

Theo đề bài ∆SAB đều nên SH ⊥ AB suy ra SH ⊥ (ABCD).

Gọi I = AC ∩ HK.

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Mà HK//BD (H là đường trung bình của \(\Delta ABD\) nên AC ⊥ HK.

Do đó AI ⊥ BD.

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot SH(SH \bot (ABCD))\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AI \bot (SHK)\).

Suy ra SI là hình chiếu của SA lên (SHK).

 

Gọi = AC ∩ BD, áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AI}}{{OA}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AI = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Xét ∆SIA vuông tại I ta có: \(\widehat {ISA} = \frac{{AI}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \[\sin \widehat {\left( {SA;\,\,\left( {SHK} \right)} \right)} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\].