Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác đều SAB và nằm trong

Đáp án A

Phương pháp:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tính bán kính mặt cầu.

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của AB; G là trọng tâm tam giác SAB; O là tâm của

hình vuông ABCD

Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow SMO = {90^0}\). Dựng hình chữ nhật GMOI. Khi đó:

\(OI//GM \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IA = IB = IC = ID\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(GI//MO\), mà \(MO \bot AB,\,\,MO \bot SM \Rightarrow MO \bot \left( {SAB} \right)\)

\( \Rightarrow GI \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IA = IS = IB\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow \) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có: G là trọng tâm tam giác đều SAB

\( \Rightarrow GM = \frac{1}{3}.SM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

GMOI là hình chữ nhật

\( \Rightarrow IB = \sqrt {O{I^2} + O{B^2}} = \sqrt {\frac{1}{{12}}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} = \sqrt {\frac{7}{{12}}} a = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Vậy, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(\frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)