Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SAB là tam giác đều và

Nhận xét: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông \(a = 1.\)

Gọi \[O,\,\,M\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,\,CD.\]

Vì \[SAB\] là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right),\) \(SO \bot AB \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Xét tam giác SOA vuông tại \(O\)

 \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{1^2} - \frac{1}{{{2^2}}}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Xét hệ trục Oxyz có \(O\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,M\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0} \right),\,\,S\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\)

Khi đó: \(C\left( {1\,;\,\,\frac{{ - 1}}{2}\,;\,\,0} \right),\,\,D\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}\,;\,\,0} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\,;\,\,\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\,;\,\,\frac{{ - 1}}{2}} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\,\,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,0\,;\,\,1} \right).\)

Vậy \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{5}{7}.\) Đáp án: \(\frac{5}{7}.\)