Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy

Gọi \(O = AC \cap BD.\)

Ta có \(AO \bot BD \Rightarrow SO \bot BD\)

 Suy ra  \(\left( {\widehat {\left( {{\rm{SBD}}} \right),\,\,\left( {{\rm{ABCD}}} \right)}} \right) = \widehat {SOA} = 60^\circ \).

\({V_{S.ADN}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S \cdot ADC}} = \frac{1}{4} \cdot {V_{S.ABCD}}\) và

 \({V_{S.AMN}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD.}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ADMN}} = {V_{S.ADN}} + {V_{S.AMN}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}.\)

\(SA = AO \cdot \tan \widehat {SOA} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\tan 60^\circ  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot S = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)

\( \Rightarrow {V_{S.ADMN}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}.\)

Chọn A.