Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

4/10

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy, \[SA = a\sqrt 2 \]. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \[A\] trên các cạnh \[SB\], \[SD\]. Góc giữa mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] và đường thẳng \[SB\] bằng

45⁰

90⁰

120⁰

60⁰

Giải thích

Chọn D Media VietJack

Ta có \[BC \bot \left( {SAB} \right)\]\[ \Rightarrow BC \bot AM\]\[ \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\]\[ \Rightarrow AM \bot SC\]. Tương tự ta cũng có \[AN \bot SC\]\[ \Rightarrow \left( {AMN} \right) \bot SC\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng \[SB\] và \[\left( {AMN} \right)\].

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {0;1;0} \right)\], \[D\left( {1;0;0} \right)\], \[S\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\],

\[C\left( {1;1;0} \right)\], \[\overrightarrow {SC} = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right)\], \[\overrightarrow {SB} = \left( {0;1; - \sqrt 2 } \right)\]. Do \[\left( {AMN} \right) \bot SC\] nên \[\left( {AMN} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {SC} \]

sinφ=323=32⇒φ=60o