Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông bằng cạnh bằng a, tam giác SAB là tam giác đều, SC = SD

Gọi M, N là trung điểm của AB và CD

MN là đường trung bình của ABCD nên MN // AD // BC

Mà AB ⊥ AD nên MN ⊥ AB

Vì ∆SAB đều nên SM ⊥ AB

Suy ra: AB ⊥ (SMN) ⇒ (SMN) ⊥ (ABCD)

Lại có: ∆SAB đều ⇒ SM = a32

Tam giác SCD cân nên: SN ⊥ CD

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SCN ta có:

SN = SC2−CD22=2a2−a24 = a72

Kẻ SH ⊥ MN (H thuộc MN)

Suy ra: SH ⊥ (ABCD)

Mặt khác: S_MNS = pp−SMp−SNp−MN (công thức Hê–rông)

Mà p = (SM + SN + MN) : 2 = a32+a72+a:2=a3+a7+2a4

Suy ra: S_MNS = pp−SMp−SNp−MN = a234

Mà S_MNS = 12.SH.MN. Suy ra: SH = 2SMNSMN=2.a234a=a32

Thể tích khối chóp S.ABCD là: V_S.ABCD = 13.SH.SABCD=13.a32.a2=a336