Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AB = 4a và góc BAD = 120 độ. Gọi H là trung điểm của AO. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a căn bậc hai của 3

Lời giải

a) [VD]

BAD = 120^o (gt) $\Rightarrow$ CAD = 60^o

\(\Delta ACD\) có CAD = 60^o, AD = CD

\( \Rightarrow \Delta ACD\) đều

có \(M\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow \)\[AM\] là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao của \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow AM \bot CD\)

\( \Rightarrow AM = \frac{{4a\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 3 \).

Kẻ \(HI{\rm{ // }}AM\), \(I \in MC\).

\(\Delta ACM\) có \(HI{\rm{ // }}AM\) theo định lý Thale`s ta có:

\( \Rightarrow HI = \frac{{CH \cdot AM}}{{CA}} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{HI{\rm{ // }}AM}\end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot CD\quad (1)\)

\(SH \bot (ABCD)\left( {gt} \right) \Rightarrow SH \bot CD\quad (2)\)

Từ \((1),{\rm{ }}(2) \Rightarrow CD \bot (SHI)\)\( \Rightarrow \widehat {SIH} = \alpha \).

\(\Delta SHI{\rm{ }}\): \(\widehat {SHI} = {90^0}\)\( \Rightarrow \)\(\tan \alpha  = \tan \widehat {SIH} = \frac{{SH}}{{HI}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\left( {\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = \frac{2}{3}\).

Chọn: Đúng.

b) [TH] theo câu a) ta có \(\Delta ACD\) đều, \(CD = 4a\), \(AM = 2a\sqrt 3 \)

\({S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}CD \cdot AM\)\( = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot 2a\sqrt 3  = 4{a^2}\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ACD}} = 8{a^2}\sqrt 3 \)

Vậy: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3  \cdot 8{a^2}\sqrt 3  = 8{a^3}\).

Chọn: Đúng.

c) [TH]

\(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot OB\quad (3)\)

\(OB \bot AC\quad (4)\)

Từ (3), (4) \( \Rightarrow OB \bot (SAC)\) \( \Rightarrow OB \bot SO\)

\( \Rightarrow \widehat {BSO}\) là góc giữa \(SB\) và \((SAC)\).

Chọn: Sai.

d) [VD,VDC]

Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ:

\(Oz \bot (ABCD)\) tại \(O\), \(Ox \equiv OB\), \(Oy \equiv OC\)

Ta có: \(O(0,0,0)\); \(A(0, - 2a,0)\)

\(B(2a\sqrt 3 ;0,0)\), \(C(0,2a,0)\), \(D( - 2a\sqrt 3 ,0,0)\)

\(M\) là trung điểm của \(DC \Rightarrow M( - a\sqrt 3 ,a,0)\)

\(N\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow N(a\sqrt 3 ,a,0)\)

\(H(0, - a,0)\), \(S(0, - a,a\sqrt 3 )\)

P là trung điểm của SA \( \Rightarrow P(0, - \frac{3}{2}a,\frac{{a\sqrt 3 }}{2})\)

\(\overrightarrow {NP}  = \left( { - a\sqrt 3 , - \frac{5}{2}a,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

\(\overrightarrow {MS}  = (a\sqrt 3 , - 2a,a\sqrt 3 )\)

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {2a\sqrt 3 ,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {NP} ,\overrightarrow {MS} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{5}{2}a}&{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{ - 2a}&{a\sqrt 3 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{ - a\sqrt 3 }\\{a\sqrt 3 }&{a\sqrt 3 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a\sqrt 3 }&{ - \frac{5}{2}a}\\{a\sqrt 3 }&{ - 2a}\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( { - \frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3 ,\frac{9}{2}{a^2},\frac{9}{2}\sqrt 3 {a^2}} \right)\)

\({d_{\left( {NP,MS} \right)}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {NP} ;\overrightarrow {MS} } \right] \cdot \overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NP} ;\overrightarrow {MS} } \right|}} = \frac{{\frac{9}{2}{a^3}}}{{\frac{{3\sqrt {39} }}{2}{a^2}}} = \frac{3}{{\sqrt {39} }}a\).

Chọn SAI.