Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a góc BAC = 60 độ

37/50

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \[\widehat {BAC} = 60^\circ .\] Cạnh \[SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[BD\] bằng

\[\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}.\]

\[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\]

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\]

Giải thích

Chọn đáp án A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a góc BAC = 60 độ (ảnh 1)

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Kẻ \(OH \bot SA\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SC\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OH\).

Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SA\\OH \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = OH\).

Từ \(\Delta AHO \sim \Delta ACS\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{OH}}{{SC}} = \frac{{OA}}{{SA}}\)

\( \Rightarrow OH = \frac{{SC.\frac{{AC}}{2}}}{{\sqrt {S{C^2} + A{C^2}} }}\).

Cạnh \(AC = AB = a \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).