Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB song song CD và AB > CD. Gọi M là điểm trên cạnh SA sao cho SM = 1/3 SA và N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 2/3 SB. a) Tìm giao tuyến

a) Ta có \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). (1)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AD \cap BC = I\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\I \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\). Suy ra \(Sx = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Sx\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

c) Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(H = MN \cap AB\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\). Vậy \(H = MN \cap \left( {ABCD} \right)\).

d) Trong \(\left( {MDH} \right)\), gọi \(O = MK \cap DN\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in MK \subset \left( {SAK} \right)\\O \in DN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (3)

Vì \(E = BD \cap AK\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}E \in AK \subset \left( {SAK} \right)\\E \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (4)

Lại có \(S \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(S,\,E,\,O\) thẳng hàng.

Do đó, \(O \in SE\).

Vậy MK, DN, SE đồng quy tại O.