Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( A D là đáy lớn, BC là đáy nhỏ). Gọi E , F lần lượt là trung điểm của SA và SD . K là giao điểm của các đường thẳng AB và CD . Khi

14/22

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ($AD$ là đáy lớn, $BC$ là đáy nhỏ). Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$. Khi đó:

a) Giao điểm $M$ của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(CDE)$ là điểm thuộc đường thẳng $KE$

b) Đường thẳng $SC$ cắt mặt phẳng $(EFM)$ tại $N$. Tứ giác $EFNM$ là hình bình hành

c) Các đường thẳng $AM,DN,SK$ cùng đi qua một điểm

d) Cho biết $AD = 2BC$. Tỉ số diện tích của hai tam giác $KMN$ và $KEF$ bằng $\frac{{{S_{\Delta KMN}}}}{{{S_{\Delta KEF}}}} = \frac{2}{3}$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Có $SK = (SAB) \cap (SCD)$.

Trong mp (SAB), gọi $M = KE \cap SB$, có $KE \subset (CDE)$. Do đó $SB \cap (CDE) = M$.

$Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ($AD$ là đáy lớn, $BC$ là đáy nhỏ). Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$. Khi đó: (ảnh 1)$

b) Trong mp $(SCD)$, gọi $N = KF \cap SC$, có $KF \subset (EFM)$.

Do đó $SC \cap (EFM) = N$.

Có $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN = (EFK) \cap (SBC)}\\{EF//BC;EF \subset (EFK),BC \subset (SBC)}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow MN//EF//BC$.

Suy ra tứ giác $EFNM$ là hình thang.

c) Trong mp $(ADNM)$, gọi $I = AM \cap DN$.

Mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in AM,AM \subset (SAB)}\\{I \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow I \in (SAB) \cap (SCD)} \right.$,

Hay $I \in SK$. Kết luận 3 đường thẳng $AM,DN,SK$ đồng quy tại điểm $I$.

d) Khi $AD = 2BC$ dễ dàng chứng minh được $B,C$ lần lượt là trung điểm của $KA$ và $KD$. Suy ra $M,N$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAK$ và $SDK$.

Do đó $MN = \frac{2}{3}EF$, gọi ${h_1},{h_2}$ lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh $K$ xuống hai đáy $MN$ và $EF$, dễ thấy ${h_1} = \frac{2}{3}{h_2}$.

Vậy $\frac{{{S_{\Delta KMN}}}}{{{S_{\Delta KEF}}}} = \frac{{\frac{1}{2}MN \cdot {h_1}}}{{\frac{1}{2}EF \cdot {h_2}}} = \frac{{\frac{2}{3}EF \cdot \frac{2}{3}{h_2}}}{{EF \cdot {h_2}}} = \frac{4}{9}$.