Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 4a, BC = 2a

24/150

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AC = 4a\,,\,\,BC = 2a.\) Đỉnh \(S\) cách đều các đỉnh \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D.\] Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ .\) Thể tích khối chóp đã cho bằng

\(\frac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{3}.\)

\(\frac{{4{a^3}}}{3}.\)

\(8\sqrt 3 {a^3}.\)

\(4{a^3}.\)

Giải thích

Media VietJack

Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\).

Suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CD\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OM \bot CD\)

Do đó \(CD \bot \left( {SMO} \right)\) mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SMO} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SM}\\{\left( {SMO} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = OM}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\,\,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SM\,;\,OM}} \right) = \widehat {SMO} = 60^\circ .\)

Ta có \(OM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 2a = a \Rightarrow SO = OM \cdot \tan \widehat {SMO}\)

\( \Rightarrow SO = \sqrt 3 a \Rightarrow {V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt 3 a \cdot 8{a^2} = \frac{{8\sqrt 3 {a^3}}}{3}.\) Chọn A.