Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, BC=a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) bằng

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều ⇒SH⊥AB.

Ta có:  {(SAB)∩(ABCD)=AB(SAB)⊥(ABCD)(SAB)⊃SH⊥AB⇒SH⊥(ABCD)

 Ta có: AH∩(SDB)⇒B⇒d(A;(SDB))d(H;(SDB))=ABHB=2⇒d(A;(SDB))=2d(H;(SDB))

Trong (ABCD) kẻ HM⊥BD (M∈BD), trong (SHM) kẻ HK⊥SM (K∈SM)

Ta có: {BD⊥HMBD⊥SH (SH⊥(ABCD))⇒BD⊥(SHM)⇒BD⊥HK

{HK⊥SMHK⊥BD⇒HK⊥(SDB)⇒d(H;(SDB))=HK

Trong (ABCD) kẻ AE⊥BD (E∈BD)⇒AE // HM

Ta có AE=AB.ADAB2+AD2=2a.a4a2+a2=2a5

Có HM là đường trung bình của tam giác ABE ⇒HM=12AE=a5

Tam giác SAB đều cạnh AB=2a⇒SH=2a32=a3

Xét tam giác vuông SHM: HK=SH.HMSH2+HM2=a3.a53a2+a25=a34

Vậy d(A;(SDB))=2.a34=a32.