Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O
38/38
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm O. Gọi \(H,\;K\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và \(ABC\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Chứng minh \(HK\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(HK\) và song song với \(SB\). Thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là hình gì?
a,
Ta có:
S là điểm chung thứ nhất, O là điểm chung thứ hai
Do đó: \[\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\]
b,
+ Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\].
Vì \(H,\;K\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SAB\) và \(ABC\) nên \(\frac{{MH}}{{MS}} = \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).
\( \Rightarrow HK\;{\rm{//}}\;SC\).
Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\) và \(HK \not\subset \left( {SCD} \right)\).
Do đó \(HK\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\).
+ Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) kẻ đường thẳng qua \(K\) và song song với \(SB\) cắt \(SD\) tại \(E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) kẻ đường thẳng qua \(E\) và song song với \(SC\) cắt \(CD\) tại \(F\).
Gọi \(G = KF \cap AB\); \(L = GH \cap SA\).
Khi đó ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = GF\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = GL\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = LE\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = EF\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là hình thang \[EFGL\].