Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên ASB là tam giác vuông cân tại S và có cạnh AB=a

9/12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên ASB là tam giác vuông cân tại S và có cạnh AB = a. Gọi M là trung điểm của AB. Hăy tính: Media VietJack

a) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {BS} $;

b) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {AS} $;

c) $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {MS} $.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $AB//CD$. Gọi $E$ là điểm thuộc tia $A B$ sao cho $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {DC} $.

Ta có:

$(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} ) = (\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BS} ) = \widehat {EBS}{\rm{. }}$ vuông cân (tại $S$ ) nên $\hat{S B A} = 45^{°}$

Suy ra $\hat{E B S} = 180^{°} - 45^{°} = 135^{°}$ , hay $(\vec{D C}, \vec{B S}) = 135^{°}$ .

Mặt khác, do $AB = a$ nên $AS = BS = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Từ đó ta có: $\vec{D C} \cdot \vec{B S} = | \vec{D C} | \cdot | \vec{B S} | \cdot \cos (\vec{D C}, \vec{B S}) = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \cos 135^{°} = a^{2} \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

Vậy $\vec{D C} \cdot \vec{B S} = - \frac{a^{2}}{2}$

b) $\vec{D C} \cdot \vec{A S} = \vec{A B} \cdot \vec{A S} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A S} | \cdot \cos (\vec{A B}, \vec{A S}) = a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \cos 45^{°} = \frac{a^{2}}{2}$ .

c) Tam giác ASB cân tại $S$ và $M$ là trung điểm của cạnh $A B$ nên $SM \bot AB$, hay $\overrightarrow {MS} \bot \overrightarrow {AB} $. Suy ra $\overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {MS} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {MS} = 0$.