Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

a) Ta có: $I \in SC$ mà $SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right).$

Mà $I \in \left( {ABI} \right).$

$ \Rightarrow I \in \left( {ABI} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

Hơn nữa: $AB{\text{//}}CD;$$AB \subset \left( {ABI} \right)$ và $CD \subset \left( {SCD} \right).$

$ \Rightarrow d = \left( {ABI} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ sao cho $d$ đi qua $I$ và song song với $AB,\,CD.$

Trong $\left( {SCD} \right)$ gọi $K = d \cap SD.$

Khi đó $K \in d$ mà \[d \subset \left( {ABI} \right).\]

$ \Rightarrow K = SD \cap \left( {ABI} \right).$

b) Ta có: $CI = \frac{2}{3}SC \Rightarrow SI = \frac{1}{3}SC \Rightarrow \frac{{SI}}{{SC}} = \frac{1}{3};$

               $BJ = \frac{2}{3}AB \Rightarrow AJ = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AB}} = \frac{1}{3}.$

$ \Rightarrow \frac{{SI}}{{SC}} = \frac{{AJ}}{{AB}} = \frac{1}{3}.$

Lại có: $KI{\text{//}}CD$ (do $d{\text{//}}CD$) nên theo hệ quả định lí Thalés có:

$\frac{{KI}}{{CD}} = \frac{{SI}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{KI}}{{CD}} = \frac{{AJ}}{{AB}}.$

Mặt khác $CD = AB$ (do $ABCD$ là hình bình hành).

$ \Rightarrow KI = AJ.$

Mà $KI{\text{//}}AJ$ (do $d{\text{//AB}}$)                  

Suy ra $AKIJ$ là hình bình hành.

$ \Rightarrow IJ{\text{//}}AK.$

Hơn nữa: $AK \subset \left( {SAD} \right)$ và $IJ \not\subset \left( {SAD} \right).$

Từ đó ta có $IJ{\text{//}}\left( {SAD} \right).$