Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi \[M\] là trung điểm \[SD,\] điểm \[N\] thuộc cạnh \[SA\] sao cho \[SN = 3AN.\]

26/150

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi \[M\] là trung điểm \[SD,\] điểm \[N\] thuộc cạnh \[SA\] sao cho \[SN = 3AN.\] Đường thẳng \[MN\] cắt mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] tại \[P,\] đường thẳng \[PC\] cắt cạnh \[AB\] tại \[K.\] Tỉ số $\frac{{KA}}{{KB}}$ bằng

$\frac{2}{3}$.

$\frac{1}{4}$.

$\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{3}$.

Giải thích

$Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi \[M\] là trung điểm \[SD,\] điểm \[N\] thuộc cạnh \[SA\] sao cho \[SN = 3AN.\] (ảnh 1)$

Trong \[mp\left( {SAD} \right)\], gọi $P = MN \cap AD$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P \in MN}\\{P \in AD \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow P = MN \cap \left( {ABCD} \right)$

Trong \[mp\left( {ABCD} \right)\] gọi $K = PC \cap AB$. Khi đó điểm \[K\] là điểm cần dựng.

Từ $SA = 3AN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\left( {gt} \right)$ suy ra $AN = \frac{1}{4}SA$.

Gọi \[E\] là trung điểm \[AD.\] Ta có \[ME\] là đường trung bình của tam giác \[SAD\] nên$ME\,{\rm{//}}\,SA,$ do đó $AN\,{\rm{//}}\,ME$.

Áp dụng định lí Thalès, ta có : $\frac{{PA}}{{PE}} = \frac{{AN}}{{ME}} = \frac{{\frac{1}{4}SA}}{{\frac{1}{2}SA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{PA}}{{PD}} = \frac{1}{3}$.

Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right),\] có \[AK\,{\rm{//}}\,CD\] nên ta có:

$\frac{{AK}}{{CD}} = \frac{{PA}}{{PD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AK}}{{AB}} = \frac{1}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB = CD} \right) \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{1}{2}$.Chọn C.