Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là trung điểm của AB và G là trọng tâm của tam giác SAB. Lấy điểm M trên cạnh AD, điểm N trên cạnh HC sao cho AD = 3AM, HC = 3HN.

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có:

Điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) (\(O = AC \cap BD\)).

Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).

Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(O\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng: \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

b) Tìm giao điểm \(P\) và chứng minh \(G\) là trung điểm của \(PN\)

1. Xác định giao điểm \(P\):

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng \(HN\) cắt đường thẳng \(AD\) tại điểm \(K\) (\(K = HN \cap AD\)).

Xét mặt phẳng phụ \(\left( {SHK} \right)\) chứa đường thẳng \(NG\):

Ta có \(K \in AD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow K \in \left( {SAD} \right)\). Mà \(S \in \left( {SAD} \right)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là đường thẳng \(SK\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\), gọi \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và giao tuyến \(SK\) (\(P = NG \cap SK\)).

Ta có: \(P \in NG\); \(P \in SK\), mà \(SK \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow P \in \left( {SAD} \right)\).

Vậy \(P\) chính là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

2. Chứng minh \(G\) là trung điểm của \(PN\):

Ta chứng minh được điểm \(N \in BD\), từ đó suy ra \(K,H,N,C\) thẳng hàng.

Suy ra \(KH = HC\) và \(\frac{{KH}}{{HN}} = 3\). Do đó \(\frac{{NK}}{{NH}} = 4\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{GH}}{{GS}} = \frac{1}{2}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SKH\) với ba điểm \(P,G,N\) thẳng hàng, ta có \(\frac{{PS}}{{PK}} \cdot \frac{{NK}}{{NH}} \cdot \frac{{GH}}{{GS}} = 1\).

Thay các tỉ số đã biết ta được \(\frac{{PS}}{{PK}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\frac{{SK}}{{SP}} = 3\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(KNP\) với ba điểm \(S,G,H\) thẳng hàng, ta có \(\frac{{HN}}{{HK}} \cdot \frac{{SK}}{{SP}} \cdot \frac{{GP}}{{GN}} = 1\).

Từ đó suy ra \(\frac{{GP}}{{GN}} = 1\) hay \(GN = GP\). Vậy \(G\) là trung điểm của \(PN\).