Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là trung điểm cạnh AB , G trọng tâm tam giác SAB . Lấy điểm M trên cạnh AD , điểm N trên cạnh HC sao cho AD = 3

14/21

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có cạnh đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$,$G$ trọng tâm tam giác $SAB$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$, điểm$N$ trên cạnh $HC$ sao cho $AD = 3AM,HC = 3HN$.

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SHC} \right)$ là $SH$.

b) Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ là đường thẳng đi qua $G$ và song song với $AD$.

c) Đường thẳng $NG$ song song với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

d) Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $NG$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, khi đó tỉ lệ $\frac{{PG}}{{GN}} = \frac{3}{4}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp \[S.ABCD\] có cạn (ảnh 1)$

a) Đúng. Ta có $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)$.

Lại có $H \in AB \subset \left( {SAB} \right)$ và $H \in \left( {SHC} \right)$ nên $H \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SHC} \right)$ là $SH$.

b) Sai. Vì $\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD$và $G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)$nên giao tuyến của mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ là đường thẳng đi qua $G$ và song song với $AB$ hoặc $MN$.

c) Đúng.Vì $\frac{{HG}}{{HS}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GN{\rm{//}}SC \Rightarrow GN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)$.

d) Sai.

$Cho hình chóp \[S.ABCD\] có cạn (ảnh 2)$

Chọn mặt phẳng $\left( {SHC} \right)$ chứa đường thẳng $NG$.

Ta tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)\,\,{\rm{v\`a }}\,\,\left( {SHC} \right)$ là $SE$như hình vẽ trên (với $E$ là giao điểm của $AD$ và $HC$). Gọi $P$ là giao điểm của $NG$ và $SE$ thì $P$ là giao điểm của đường thẳng $NG$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.

Qua $G$ kẻ $GQ{\rm{//}}AB\,\,\left( {Q \in SA} \right)$ ta có: $\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}}$.

Lại có $MN = \frac{2}{3}AB = \frac{4}{3}HA \Rightarrow HA = \frac{3}{4}MN$$ \Rightarrow GQ = \frac{2}{3}HA = \frac{1}{2}MN \Rightarrow \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1$.

Cách khác:Dễ dàng tính được $\frac{{EN}}{{EC}} = \frac{{EP}}{{ES}} = \frac{2}{3}$; $\frac{{NH}}{{HE}} = \frac{1}{3}$.

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác $NEP$ ta có: $\frac{{NH}}{{HE}} \cdot \frac{{ES}}{{SP}} \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1$.