Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy và tam giác SAB đều cạnh 2a. Biết tam giác ABC vuông tại C và cạnh AC = acăn 3 \).

11/25

Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt bên $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và cạnh $AC = a\sqrt 3 $.

1. $SH \bot \left( {ABC} \right)$ với $H$ là trung điểm của $AB$.

ĐúngSai

2. $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = a\sqrt 3 $.

ĐúngSai

3. $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

ĐúngSai

4. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{{a^3}}}{6}$.

ĐúngSai

Giải thích

$Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy và tam giác SAB đều cạnh 2a. Biết tam giác ABC vuông tại C và cạnh AC = acăn 3 \). (ảnh 1)$

1. Đúng. Ta có $H$ là trung điểm của $AB$, mà tam giác $SAB$ đều nên $SH \bot AB$.

Ngoài ra $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

2. Đúng. Ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $ (do tam giác $SAB$ đều cạnh $2a)$.

3. Sai. Kẻ đường cao $CK$ của tam giác $ABC$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CK \bot AB}\\{CK \bot SH}\end{array} \Rightarrow CK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK} \right.$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có:

$BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}} = a;CK = \frac{{CA \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

4. Sai. Diện tích đáy hình chóp là: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Thể tích khối chóp là: ${V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}$.