Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, cạnh huyền BC = 6(cm), các cạnh bên cùng

Các cạnh bên của hình chóp bằng 6cm

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 48$\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^2$

Phương pháp giải

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi O là trung điểm của BC.

- Tam giác ABC vuông tại A,O là trung diểm của cạnh huyền BC, suy ra OA = OB = OC

- Chứng minh ΔSHA = ΔSHB = ΔSHC

- Trong ΔSAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I.

- Chứng minh IA = IB = IC = IS.

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi O là trung điểm của BC.

Tam giác ABC vuông tại A,O là trung diểm của cạnh huyền BC, suy ra OA = OB = OC (1).

Xét các tam giác ΔSHA, ΔSHB, ΔSHC có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{ SH}}\,\,{\rm{chung }}}\\{\widehat {SHA} = \widehat {SHB} = \widehat {SHC} = {{90}^^\circ } \Rightarrow \Delta SHA = \Delta SHB = \Delta SHC\,\,({\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g) }}}\\{\widehat {SAH} = \widehat {SBH} = \widehat {SCH} = {{60}^^\circ }}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow HA = HB = HC\)

\(\widehat {SAH} = \widehat {SBH} = \widehat {SCH} = {60^^\circ }\)

⇒ ΔSBC đều cạnh bằng 6 (cm)

Từ (1) và (2) suy ra H trùng O. Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Trong ΔSAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I.

Khi đó IA = IB = IC = IS. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

ΔSBC đều cạnh bằng 6(cm) \( \Rightarrow SO = 3\sqrt 3  \Rightarrow SI = \frac{2}{3}.SO = \frac{2}{3}.3\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \) .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: \(S = 4\pi {(2\sqrt 3 )^2} = 48\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).