Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, góc BAC = 30 độ. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA

36/53

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] thỏa mãn \[AB = AC = 4,\] \[\widehat {BAC} = 30^\circ \]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với \[\left( {ABC} \right)\] cắt đoạn \[SA\] tại \[M\] sao cho \[SM = 2MA\]. Diện tích thiết diện của \[\left( P \right)\] và hình chóp \[S.ABC\] bằng bao nhiêu?

\(1\).

\(\frac{{14}}{9}\).

\(\frac{{25}}{9}\).

\(\frac{{16}}{9}\).

Giải thích

Lời giải

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, góc BAC = 30 độ. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA (ảnh 1)

Diện tích tam giác \[ABC\] là \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.4.4.\sin 30^\circ = 4\].

Gọi \[N,\,\,P\] lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \[\left( P \right)\] và các cạnh \[SB,\,\,SC\].

Vì \[\left( P \right)\]\({\rm{//}}\)\[\left( {ABC} \right)\] nên theoo định lí Thalès, ta có \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{2}{3}\].

Khi đó \[\left( P \right)\] cắt hình chóp \[S.ABC\] theo thiết diện là tam giác \[MNP\] đồng dạng với tam giác \[ABC\] theo tỉ số \[k = \frac{2}{3}\]. Vậy \[{S_{\Delta MNP}} = {k^2}.{S_{\Delta ABC}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}.4 = \frac{{16}}{9}\].