Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2,

4/10

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2, $B C = 2 \sqrt{3}$ , cạnh bên $S A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC).

$\frac{4}{\sqrt{13}}$

$\frac{\sqrt{13}}{4}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2, (ảnh 1)

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ CM.

Kẻ AH ^ CM tại H.

Vì SA ^ CM và AH ^ CM nên CM ^ (SAH) ⇒ CM ^ SH

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC) bằng .

Vì M là trung điểm của AB nên $B M = \frac{A B}{2} = 1$ .

Xét ∆CBM vuông tại B, có $C M = \sqrt{B M^{2} + B C^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{13}$ .

Ta có S_∆ABC = 2S_∆CMA nên $\frac{1}{2} A B . B C = 2. \frac{1}{2} A H . C M \Rightarrow 2 \sqrt{3} = A H . \sqrt{13} \Rightarrow A H = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{13}}$ .

Xét ∆SAH vuông tại A, $\tan \hat{S H A} = \frac{S A}{A H} = \frac{\sqrt{13}}{4}$ .