Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AB = 1,BC = căn bậc hai của 2 SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = căn bậc hai của 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

Dựng điểm \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Ta có \(AB//CD\) nên \(AB//\left( {SCD} \right)\).

Khi đó \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Hạ \(AH \bot SD\) (1).

Vì \(\left. \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(AH \bot \left( {SCD} \right)\). Do đó \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AD = BC = \sqrt 2 \).

Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow AH = 1\).

Vậy \(d\left( {AB,SC} \right) = 1\).