Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. SA vuông góc với mặt

Cách 1: Gọi \[M,\,\,H\] lần lượt là trung điểm của \[BC,\,\,SA.\]

Ta có tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) nên \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC.\]

Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(d\) sao cho \(d \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) kẻ đường trung trực \(\Delta \) của đoạn \[SA,\] cắt \(d\) tại \(I.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IA = IB = IC}\\{IA = IS}\end{array} \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I} \right.\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HA \bot \left( {ABC} \right)}\\{IM \bot \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HA \bot AM}\\{HA//IM}\end{array}} \right.} \right.\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SA}\\{AM \bot SA}\\{HI,\,\,SA,\,\,AM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow HI\,{\rm{//}}\,AM\)

Suy ra tứ giác \[HAMI\] là hình chữ nhật.

Ta có \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {4^2}}  = \sqrt 5 \,,\,\,IM = \frac{1}{2}SA = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\] là \(R = AI = \sqrt {A{M^2} + I{M^2}}  = \sqrt {5 + \frac{5}{4}}  = \frac{5}{2}.\)

Cách 2: Sử dụng kết quả: Nếu \[S.ABC\] là một tứ diện vuông đỉnh \(A\) thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[S.ABC\] được tính bởi công thức: \(R = \frac{1}{2}\sqrt {A{S^2} + A{B^2} + A{C^2}} \).

Áp dụng công thức trên, ta có \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + {2^2} + {4^2}}  = \frac{5}{2}.\)

Đáp án: \(\frac{5}{2}.\)