Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC=60 độ , tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a

1/10

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\hat{A B C} = 60 °$ , tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).

$\sqrt{3}$

$2 \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

$\frac{1}{2}$

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC=60 độ , tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì ∆SBC đều nên SM ^ BC, $S M = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Ta có (SBC) ^ (ABC) và SM ^ BC ⇒ SM ^ (ABC) ⇒ SM ^ AC.

Gọi N là trung điểm của AC ⇒ MN // AB mà AB ^ AC suy ra MN ^ AC.

Ta có SM ^ AC và MN ^ AC ⇒ AC ^ (SMN) ⇒ AC ^ SN .

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng $\hat{S N M}$ .

Xét ∆ABC vuông tại A, có AB = BC∙cos60° = a.

Vì MN là đường trung bình của ∆ABC nên $M N = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét ∆SMN vuông tại M, $\tan \hat{S N M} = \frac{S M}{M N} = 2 \sqrt{3}$ .