Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

Phương pháp giải

- Chứng minh SH ⊥ (ABC)

- Trong (SHE), kẻ HK ⊥ SE, (K ∈ SE) (1)

- Tính HK

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 

Lời giải

Gọi \(H\) là trung điểm của BC

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \bot (ABC)}\\{(SBC) \cap (ABC) = BC \Rightarrow SH \bot (ABC)}\\{(SBC) \supset SH \bot BC}\end{array}} \right.\)

\({\rm{V\`i  }}CH \cap (SAB) = B \Rightarrow \frac{{d(C,(SAB))}}{{d(H,(SAB))}} = \frac{{CB}}{{HB}} = 2\)

\( \Rightarrow d(C,(SAB)) = 2d(H,(SAB))\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow HE//AC \Rightarrow HE \bot AB\)

Trong (SHE), kẻ \(HK \bot SE,(K \in SE)(1)\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot HE}\\{AB \bot SH}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SHE) \Rightarrow AB \bot HK} \right.\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HK \bot (SAB) \Rightarrow d(H,(SAB)) = HK\)

Ta có:\({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{HE = \frac{{AC}}{2} = \frac{{BC.\sin \widehat {ABC}}}{2} = \frac{a}{4}}\end{array}} \right.\)

Xét \(\Delta SHE\) vuông tại \(H\) có đường cao HK, ta có \(HK = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}\).

Vậy \(d(C,(SAB)) = 2d(H,(SAB)) = 2HK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).