Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

39/50

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \[B,AB = 3a,BC = 4a\]. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi giữa SC và mặt phẳng đáy bằng \[{60^0}\]. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:

\[a\sqrt 3 .\]

\[\frac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\]

\[5a\sqrt 3 .\]

\[\frac{{5a}}{2}.\]

Giải thích

Đáp án B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại (ảnh 1)

Gọi N là trung điểm của BC. Ta có: \(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right).} \right)\)

Dựng đường cao AK trong tam giác AMN, đường cao AH trong tam giác SAK.

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot MN\). (1)

Theo cách dựng ta lại có \(MN \bot AK.\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MN \bot AH\) mà \(AH \bot SA\) (theo cách dựng).

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right)\) tại H nên \(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH.\)

Ta có: \(AK = BN = \frac{{BC}}{2} = 2a;AC = 5a.\)

Xét tam giác SAC có \(SA = AC.\tan 60^\circ = 5a\sqrt 3 .\)

Xét tam giác SAK vuông tại A với đường cao AH có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{75{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{79}}{{300{a^2}}} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{300{a^2}}}{{79}} \Rightarrow AH = \frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}.\)