Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, biết

44/56

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, biết SA⊥(ABC) và SB với đáy một góc 60. Thể tích khối chóp S.ABC là

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\);

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\);

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\);

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{48}}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, biết (ảnh 1)

Vì SA vuông góc với (ABC)

⇒ A là hình chiếu của S trên (ABC)

⇒ AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

⇒ (SB, (ABC)) = (SB, AB) \( = \widehat {SBA} = 60^\circ \)

Tam giác vuông cân ABC tại B

⇒ \(AB = BC = AC.\sin 45^\circ = AC.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SAB vuông tại A

\( \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Thể tích khối chóp S.ABC là:

\(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\).