Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N thuộc cạnh AB sao cho AN = 3NB. Nhữn

26/40

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, cạnh $AB = 2a$. Cạnh bên $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AN = 3NB$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{4{a^3}}}{3}$.

2. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $a\sqrt 3 $.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $2a$.

4. Góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ khoảng $48^\circ $(kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $CN$ bằng $\frac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}$.

Giải thích

${{39}} = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{39}}\). Chọn 1, 3. (ảnh 1)$

1. Đúng. Có ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{6} \cdot 2a \cdot {\left( {2a} \right)^2} = \frac{{4{a^3}}}{3}$.

2. Sai. Hạ $AH \bot SB$(1).

Có $BC \bot AB$ và $BC \bot SA$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$. Do đó $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 $.

3. Đúng. Có $SA \bot AB,AB \bot BC$ nên $d\left( {SA,BC} \right) = AB = 2a$.

4. Sai. Có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AM$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Khi đó $\left( {SM,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \widehat {SMA}$.

Vì $M$là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC = a$.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $B$, có $AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 $.

Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SMA} \approx 42^\circ $.

5. Sai.

${{39}} = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{39}}\). Chọn 1, 3. (ảnh 2)$

Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, kẻ $ME//CN\left( {E \in AB} \right)$ $ \Rightarrow CN//\left( {SME} \right)$.

Khi đó $d\left( {SM,CN} \right) = d\left( {CN,\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)$.

Lại có $\frac{{d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right)}} = \frac{{NE}}{{AE}} = \frac{{\frac{1}{2}NB}}{{\frac{7}{2}NB}} = \frac{1}{7}$.

Kẻ $AK \bot ME$, Kẻ $AJ \bot SK$(3).

Có $AK \bot ME$ mà $ME \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)$ nên $ME \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ME \bot AJ$ (4).

Từ (3) và (4), suy ra $AJ \bot \left( {SME} \right)$.

Khi đó $d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = AJ$.

Có ${S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}MB \cdot AE = \frac{1}{2}MB \cdot \frac{7}{8}AB = \frac{7}{{16}} \cdot a \cdot 2a = \frac{7}{8}{a^2}$.

Có $CN = \sqrt {B{C^2} + B{N^2}} = \sqrt {4{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}$.

Có $ME$ là đường trung bình của $\Delta BCN$ nên $ME = \frac{1}{2}CN = \frac{{a\sqrt {17} }}{4}$.

Lại có ${S_{\Delta AME}} = \frac{1}{2}AK \cdot ME = \frac{7}{8}{a^2} \Rightarrow AK = \frac{{7a}}{{\sqrt {17} }}$.

Xét $\Delta SAK$ vuông tại $A$, có $\frac{1}{{A{J^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{{17}}{{49{a^2}}} = \frac{{117}}{{196{a^2}}}$$ \Rightarrow AJ = \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}}$.

Suy ra $d\left( {N,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7}d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{{14a\sqrt {13} }}{{39}} = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{39}}$. Chọn 1, 3.